第133章 找星星（3 / 3）
他需要的是一个能够同时编码乘法和加法结构的高维空间。
阿德尔环闪过他的脑海。
那是代数数论中的標准工具，把所有素数p的p进数域和实数域放在一起，形成一个巨大的拓扑环。
整数在这个环中的嵌入是n ? (n, n, n, ...)，每个分量是n在对应完备化中的像。
但肖宿想要的不是標准阿德尔环，而是一个经过“辛整形”的版本。
他写下第一行：
定义1 (顾—辛特徵空间)：设x为所有素数p对应的p进数域的受限乘积，赋予由顾—辛度量定义的拓扑结构。对於每个整数n，定义嵌入φ: ? → x，使得φ(n)的第p分量为n mod p^k的极限。
这个定义不算新鲜。但接下来，肖宿做了关键的一步。
他引入了一个“加权函数”w(p) = (p—1)/p · log p。
这个函数来自他在《数学发明》上发表的那篇关於有理点估计的论文,在那篇论文中，他用这种加权函数修正了点分布的误差项。
定义2 (加权度量)：对於x中的两点x=(x_p)和y=(y_p)，定义它们之间的距离为d(x,y) = Σ w(p) · |x_p y_p|_p
其中|·|_p是p进绝对值。
这个度量很奇怪。
它是一维p进度量的加权和，权重与素数的大小有关。
大素数贡献更大，小素数贡献更小。
就好像在说，素数的“重要性”与其大小成正比。
肖宿写下这个定义后，停顿了一下。
这个度量能收敛吗？
他快速估算了一下。
|x_p y_p|_p的最大值是1，所以级数受控於Σ w(p)。
而Σ w(p) ~ Σ (log p)/p，这是一个发散级数，就像调和级数一样，缓慢地、但坚定地趋向无穷。
所以d(x,y)可以是无穷大。
那就有意思了。
只有当x和y“足够接近”时，距离才有限。
肖宿的眼睛亮了。 ↑返回顶部↑
阿德尔环闪过他的脑海。
那是代数数论中的標准工具，把所有素数p的p进数域和实数域放在一起，形成一个巨大的拓扑环。
整数在这个环中的嵌入是n ? (n, n, n, ...)，每个分量是n在对应完备化中的像。
但肖宿想要的不是標准阿德尔环，而是一个经过“辛整形”的版本。
他写下第一行：
定义1 (顾—辛特徵空间)：设x为所有素数p对应的p进数域的受限乘积，赋予由顾—辛度量定义的拓扑结构。对於每个整数n，定义嵌入φ: ? → x，使得φ(n)的第p分量为n mod p^k的极限。
这个定义不算新鲜。但接下来，肖宿做了关键的一步。
他引入了一个“加权函数”w(p) = (p—1)/p · log p。
这个函数来自他在《数学发明》上发表的那篇关於有理点估计的论文,在那篇论文中，他用这种加权函数修正了点分布的误差项。
定义2 (加权度量)：对於x中的两点x=(x_p)和y=(y_p)，定义它们之间的距离为d(x,y) = Σ w(p) · |x_p y_p|_p
其中|·|_p是p进绝对值。
这个度量很奇怪。
它是一维p进度量的加权和，权重与素数的大小有关。
大素数贡献更大，小素数贡献更小。
就好像在说，素数的“重要性”与其大小成正比。
肖宿写下这个定义后，停顿了一下。
这个度量能收敛吗？
他快速估算了一下。
|x_p y_p|_p的最大值是1，所以级数受控於Σ w(p)。
而Σ w(p) ~ Σ (log p)/p，这是一个发散级数，就像调和级数一样，缓慢地、但坚定地趋向无穷。
所以d(x,y)可以是无穷大。
那就有意思了。
只有当x和y“足够接近”时，距离才有限。
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